À primeira vista, calcular a extensão do litoral de um país não é uma tarefa complicada. Afinal, é só medir a distância de um ponto a outro e zaz.

O problema é que a extensão do litoral é determinada pela ferramenta utilizada. Ou melhor, pela resolução da ferramenta utilizada. Veja como a extensão do litoral da Grã Bretanha muda dependendo da maneira com a qual ele é medido:

Note que o comprimento do litoral é de 2400km quando uma resolução de 200km é utilizada para medição, mas ele pode chegar a 3400km quando é utilizada uma resolução de 50km.

Este é um efeito muito bem documentado em uma área da matemática chamada geometria fractal. Este é um tipo de geometria que não se comporta como aquela que aprendemos na escola e que é chamada de geometria euclidiana. Fractais geram imagens muito bonitas, que aparecem a partir de uma característica muito simples chamada auto-similaridade.

Vou tentar dar um exemplo mais simples para deixar esta ideia de auto-similaridade mais clara. Um dos fractais mais simples que existe é a Curva de Koch. A iteração zero do fractal inicia com um triângulo equilátero, que é a imagem no canto superior esquerdo da figura abaixo. Na primeira iteração, 1/3 de cada lado do triângulo é retirado e três novos triângulos equiláteros, com lados iguais a um terço do triângulo original, é construído no seu lugar. O resultado aparece no canto superior direito da figura.

Na segunda iteração, são retirados 1/3 dos lados dos novos triângulos construídos (isto é equivalente a 1/9 do triângulo original). O resultado disso está na imagem do canto inferior esquerdo da figura acima. E assim por diante, um floco de neve é construído. Perceba que este processo não tem fim. Ele pode ocorrer indefinidamente.

O resultado disso é uma figura com área finita. Afinal, pois ela pode claramente ser limitada por um círculo de raio finito. Podemos não saber o valor exato da área, mas sabemos que ela tem fim.

Entretanto, o perímetro da figura é infinito. Não vou entrar no mérito da conta utilizada aqui, mas basta utilizar as ideias de progressão geométrica (sim, a PG da dupla PA e PG do Ensino Médio). Ou seja, temos um paradoxo na geometria tradicional: uma figura tal que se começássemos a caminhar na sua borda, nunca atingiríamos o ponto inicial novamente. Entretanto, ela é pequena o suficiente para ter área finita.

Embora eu nunca tenha estudado fractais a sério, este é um assunto que me interessa ao ponto de eu ter registado num moleskine de 10 anos atrás uma explicação que dei sobre fractais para um amigo jornalista.

Há algumas imprecisões nos esboços acima, mas relevem. Eu fiz tudo de cabeça, sem ter revisado o material anteriormente. 

Na ocasião, também falei sobre outro fractal muito famoso, chamado triângulo de Sierpinski. Ele é uma figura que tem mais de uma dimensão, pois não pertence a uma reta. Entretanto, não chega a ter duas dimensões, pois sua área é igual a zero.

Não sei vocês, mas acho este assunto fascinante.
 

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Sim, a Biblioteca de Babel do Borges é um fractal.

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No início dos anos 2000 eu era frequentador assíduo do extinto site Trama Virtual. Conheci muita banda brasileira boa por lá. Ecos Falsos, Montage, Rock Rocket e muito mais. Mas creio que a banda a sair de lá que mais fez sucesso foi Cansei de Ser Sexy. Era uma das coisas que eu mais ouvia lá por 2003 ou 2004. Em 2005 sai o primeiro disco da banda, chamado Cansei de Ser Sexy. Meeting Paris Hilton é a canção deste disco que escolhi para batizar a newsletter de hoje.
 

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